每日一题[3718]纵横捭阖

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #15

在 $3\times 3$ 的数表中填入 $9$ 个自然数，使得每行、每列的三个数之和均为 $3$，共有_____种不同的填法．

答案    $55$．

解析    先讨论数表中包含 $3$ 的情形． 每次填入一个 $3$ 就相当于去掉了该格所在的行和列（因此不可能存在 $2$ 个 $3$ 的情形），按照 $3$ 的个数讨论．

情形一    $3$ 个 $3$．此时依次给每行填入 $3$，填法有 $3!=6$ 种．

情形二     $1$ 个 $3$．此时填入 $1$ 个 $3$ 后，需要用 $1,2$ 填剩下的 $2\times 2$ 的数表，因此填法有 $9\cdot 2=18$ 种．

再讨论数表中不包含 $3$ 的情形．

情形一    $3$ 个 $2$．此时 $3$ 个 $2$ 均不同行同列，然后剩下的格子任意一个格填入 $0$ 或者 $1$，其他格子就确定了，填法有 $3!\cdot 2=12$ 种．

情形二     $2$ 个 $2$．此时 $2$ 个 $2$ 填好以后，剩下的格子就确定概率，填法有 $3\cdot 3\cdot 2=18$ 种．

情形三     $1$ 个 $2$．此时这个 $2$ 所在行和列中两个 $0$ 所在的行列重合的格子无法满足要求．

情形四     $0$ 个 $2$．此时所有格子都填入 $1$，只有 $1$ 种填法．

综上所述，所有不同的填法总数为 $6+18+12+18+1=55$．