2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #14
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n+a_{n-1}=2+\dfrac{3n^2+n}{a_n-a_{n-1}}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast} $），则 $ a_{2025}=$ _____．
答案 $91171$．
解析 题中递推公式即\[a_n^2-a_{n-1}^2=2(a_n-a_{n-1})+3n^2+n,\]也即\[(a_n^2-2a_n)=(a_{n-1}^2-2a_{n-1})+3n^2+n,\]累加可得\[a_n^2-2a_n=(a_1^2-2a_1)+\sum_{k=2}^n(3k^2+k)=n(n+1)^2-1,\]即\[a_n=(n+1)\sqrt n+1,\]因此 $a_{2025}=91171$．