2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #19
已知关于 $x$ 的方程 $x^2-ax+9a=0$ 的解均为正整数，则实数 $a$ 的所有可能取值个数为_____．
答案 $3$．
解析 设关于 $x$ 的方程 $x^2-ax+9a=0$ 的正整数根为 $x_1,x_2$（$x_1\leqslant x_2$），则\[\begin{cases} x_1+x_2=a,\\ x_1\cdot x_2=9a,\end{cases}\implies x_1\cdot x_2=9(x_1+x_2)\implies (x_1-9)(x_2-9)=3^4,\]于是\[(x_1-9,x_2-9)=(1,3^4),(3,3^3),(3^2,3^2),\]进而实数 $a$ 的所有可能取值有 $3$ 个 $^{[1]}$．
备注 $[1]$ 为 $3^k+3^{4-k}+18$（$k=0,1,2$），分别为 $100,48,36$．