每日一题[3703]对称函数与零点

2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #18

已知 $m>1$，函数 $f(x)=2 m\ln x-x+\dfrac 1 x$．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若函数 $g(x)=m^2\ln^2 x-x-\dfrac 1 x+2$ 有三个不同的零点，求 $m$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{-x^2+2mx-1}{x^2}=\dfrac{-(x-x_1)(x-x_2)}{x^2},$$ 其中 $x_1=m-\sqrt{m^2-1}$，$x_2=m+\sqrt{m^2-1}$，则 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty)$，单调递增区间是 $(x_1,x_2)$．

2、注意到 $g\left(\dfrac 1x\right)=g(x)$，且 $g(1)=0$，因此问题即 $g(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点，此时 $$g(x)=0\iff (m\ln x)^2=\left(\sqrt x-\dfrac 1{\sqrt x}\right)^2\iff 2m\ln \sqrt x=\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x},$$ 问题转化为 $f(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．根据第 $(1)$ 小题的结论，有 $0<x_1<1<x_2$，于是 $f(x_1)<0<f(x_2)$，又当 $x>16m^2$ 时，有 $$f(x)=4m\ln \sqrt x-x+\dfrac 1x\leqslant 4m\left(\sqrt x-1\right)-x+\dfrac 1x<\sqrt x\left(4m-\sqrt x\right)<0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x\in (1,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点，所以 $m$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$．