每日一题[3658]倒回齐次

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #14

已知 $\left\{a_n\right\}$ 有 $a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{(1-\sqrt{2})^{n+1} a_n+\sqrt{2}+1}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=$ _____．

答案    $\sqrt 2-1$．

解析    记 $p=1-\sqrt 2$，$q=1+\sqrt 2$，$b_n=\dfrac1{a_n}$，则 $p+q=2$，$pq=-1$，且 $$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{p^{n+1}a_n+q}\implies p^{n+1}=b_{n+1}-qb_n,$$ 于是 $$b_{n+2}-qb_{n+1}=p(b_{n+1}-qb_n)\implies b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n,$$ 其中 $b_1=2$，$b_2=5$，进而根据求数列通项的特征根法，可得 $$b_n=\dfrac{q^{n+1}-p^{n+1}}{2\sqrt2}\implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{b_n}=q,$$ 因此 $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\sqrt[n]{b_n}}=\dfrac 1q=\sqrt 2-1.$$