每日一题[3657]三角重合

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #13

已知 $a \in \mathbb{R}$，$\theta \in[0,2 \pi)$，复数 $z_1=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$，$z_2=\sin \theta+\mathrm{i} \cos \theta$，$z_3=a(1-\mathrm{i})$，则满足 $z_1, z_2, z_3$ 成等比数列的 $(a, \theta)$ 的个数为_____．

答案    $6$．

解析    根据题意，有

$$z_2^2=z_1z_3\iff \left(\dfrac{\pi}2-\theta:1\right)^2=\left(\theta:\sqrt 2\right)\cdot \left(-\dfrac{\pi}4:\sqrt 2a\right)\iff\left(\pi-2\theta:1\right)=\left(\theta-\dfrac{\pi}4:\sqrt 2a\right),$$ 于是 $$\begin{cases} 1=\sqrt 2a,\\ \pi-2\theta=\theta-\dfrac{\pi}4+2k\pi,k\in\mathbb Z,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} 1=-\sqrt 2a,\\ \pi-2\theta=\theta-\dfrac{\pi}4+2k\pi+\pi,k\in\mathbb Z,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} a=\dfrac{\sqrt 2}2,\\ \theta=\dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{2k\pi}3,k\in\mathbb Z,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} a=-\dfrac{\sqrt 2}2,\\ \theta=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2k\pi}3,k\in\mathbb Z,\end{cases}$$ 因此所求 $(a, \theta)$ 的个数为 $6$．