每日一题[3651]项与和

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #7

已知正整数 $n$ 满足：对任意等差数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，若 $a_1+2 a_2+3 a_3+\cdots+n a_n$ 为有理数，则 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中存在有理数，则 $n$ 可以为（       ）

A．$6$

B．$8$

C．$10$

D．$12$

答案    C．

解析    设 $a_n=An+B$，则

$$\begin{split} a_1+2a_2+\cdots+na_n&=\sum_{k=1}^nk(Ak+B)\\ &=\dfrac A6n(n+1)(2n+1)+\dfrac B2n(n+1)\\ &=\dfrac 12n(n+1)\cdot \left(A\cdot \dfrac{2n+1}3+B\right),\end{split}$$ 若 $\dfrac{2n+1}3\in\mathbb N^{\ast}$，即 $n\equiv 1\pmod 3$，则 $a_{\frac{2n+1}3}$ 为有理数，符合题意； 若 $\dfrac{2n+1}3\notin \mathbb N^{\ast}$，即 $n\equiv 0,2\pmod 3$，此时取 $A=3\sqrt 2$，$B=-(2n+1)\sqrt 2$，则 $a_1+2a_2+\cdots+na_n=0$ 为有理数，此时 $$a_k=3\left(k-\dfrac{2n+1}3\right)\sqrt 2\notin \mathbb Q,$$ 不符合题意． 综上所述，只有选项 $\boxed{C}$ 符合题意．