每日一题[3650]四面八方

2023年浙江大学强基计划数学试题（回忆版） #6

如图，四边形 $A B C D$ 外切于圆 $O$，过 $O$ 直线交 $A B, C D, A C, BD$ 于 $K, L, M, N$，且 $\angle B K L=\angle C L K$，$A M=1$，$M C=2$，$B N=3$，则 $N D=$ _____．

答案    $6$．

解析    如图，连接 $O B, O C$．

则 $$\angle O C L+\angle O B K =\frac{\angle B C D+\angle A B C}{2} =\frac{2 \pi-\angle B K L-\angle C L K}{2} =\frac{2 \pi-2 \angle B K L}2 =\pi-\angle B K L =\angle O B K+\angle B O K,$$ 于是 $\angle O C L=\angle B O K$，又 $\angle C L K=\angle B K L$，所以 $\triangle O C L$ 与 $\triangle B O K$ 相似，所以 $$\frac{C L}{O K}=\frac{O L}{B K}\iff C L \cdot B K=O L \cdot O K,$$ 同理 $D L \cdot A K=O L \cdot O K$，于是 $$C L \cdot B K=D L \cdot A K,$$ 根据正弦定理，有 $$\begin{cases} \frac{M C}{C L}=\frac{\sin \angle C L K}{\sin \angle C M L}=\frac{\sin \angle A K L}{\sin \angle A M K}=\frac{A M}{A K}, \\ \frac{B N}{B K}=\frac{\sin \angle B K L}{\sin \angle B N K}=\frac{\sin \angle D L K}{\sin \angle D N L}=\frac{N D}{D L},\end{cases}\implies M C \cdot B N=A M \cdot N D,$$ 所以 $$N D=\dfrac{M C \cdot B N}{A M}=6.$$