每日一题[3624]讨论与洛必达

2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #18

已知函数 $f(x)=(x+1)\mathrm e^{2-a x}+1$，$g(x)=(x+1)^{a x}\mathrm e^{2+(1-a) x}+1$．

1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值；

2、当 $a<0$ 时，讨论 $f(x)$ 零点个数；

3、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=1$ 时，有 $f(x)=(x+1)\mathrm e^{2-x}+1$，于是 $$f'(x)=-x\mathrm e^{2-x},$$ 于是当 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得极大值 $f(0)=\mathrm e^2+1$，没有极小值．

2、根据题意，有 $$f(x)=0\iff a=\dfrac{2+\ln(-x-1)}{x},$$ 设 $h(x)=\dfrac{2+\ln(-x-1)}{x}$（$x<-1$），则其导函数 $$h'(x)=-\dfrac{1+\dfrac{1}{x+1}+\ln(-x-1)}{x^2},$$ 其分子部分在 $x\in (-\infty,-1)$ 上单调，且在 $x=-2$ 时值为 $0$，因此 $h(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 上单调递减，在 $(-2,-1)$ 上单调递增，又当 $x\to -\infty$ 时，$h(x)\to 0^+$，当 $x\to (-1)^-$ 时，$h(x)\to +\infty$，因此 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,-2)&-2&(-2,-1)&-1\\ \hline h(x)&0^-&\searrow&-1&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 0,&a\in (-\infty,-1),\\ 1,&a=-1,\\ 2,&a\in (-1,0).\end{cases}$

3、根据题意，有 $$\begin{split} f(x)\geqslant g(x)&\iff(x+1)\mathrm e^{2-a x}+1\geqslant(x+1)^{a x}\mathrm e^{2+(1-a)x}+1\\ &\iff 1\geqslant(x+1)^{ax-1}\mathrm e^x\\ &\iff \ln(x+1)-\dfrac{x}{1-ax}\geqslant 0 ,\end{split}$$ 设 $r(x)=\ln(x+1)-\dfrac x{1-ax}$，则其导函数 $$r'(x)=\dfrac{a^2x}{(x+1)(ax-1)^2}\cdot \left(x-\dfrac{2a+1}{a^2}\right),$$ 讨论分界点为 $\dfrac{2a+1}{a^2}=0$ 即 $a=-\dfrac 12$．

情形一     $a\leqslant -\dfrac 12$．此时 $r(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，而 $r(0)=0$，符合题意．

情形二     $a>-\dfrac 12$．此时 $r(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right)$ 上单调递减，而 $r(0)=0$，因此在该区间时 $r(x)<0$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$．

备注    根据题意，有 $$\begin{split} f(x)\geqslant g(x)&\iff(x+1)\mathrm e^{2-a x}+1\geqslant(x+1)^{a x}\mathrm e^{2+(1-a) x}+1\\ &\iff 1\geqslant (x+1)^{ax-1}\mathrm e^x\\ &\iff a\leqslant \dfrac 1x-\dfrac1{\ln(x+1)},\end{split}$$ 设 $r(x)=\dfrac 1x-\dfrac1{\ln(x+1)}$，则其导函数 $$r'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2}{x+1}-\ln^2(x+1)}{x\ln^2(x+1)},$$ 设 $\varphi(x)=\dfrac{x^2}{x+1}-\ln^2(x+1)$，则其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{\dfrac{x(x+2)}{x+1}-2\ln(x+1)}{1+x}>0,$$ 因此 $\varphi(x)$ 单调递增，于是 $r(x)$ 单调递增，而 $$\lim\limits_{x\to 0}r(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(x+1)-x}{x\ln(x+1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac1{x+1}-1}{\dfrac x{x+1}+\ln(x+1)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{(x+1)^2}}{\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{x+1}}=-\dfrac 12,$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$．