2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #8
如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4$ 千米处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ}$ 方向 $2$ 千米处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2$ 千米．现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B, C$ 两地转运货物．经测算，从 $M$ 到 $B, C$ 两地修建公路的费用分别是 $a$ 万元每千米和 $2 a$ 万元每千米，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．$(2\sqrt 7-2) a$ 万元
B．$5 a$ 万元
C．$(2\sqrt 7+1) a$ 万元
D．$(2\sqrt 3+3) a$ 万元
答案 B．
解析 设 $AB$ 的中点为 $O$，建立平面直角坐标系 $O-By$，则 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(3,\sqrt 3)$，$M$ 在以 $A,B$ 为左、右焦点，实轴长为 $2$ 的双曲线 $E:x^2-\dfrac {y^2}3=1$ 的右支上，作双曲线 $E$ 的右准线 $l:x=\dfrac 12$，则修建这两条公路的总费用为\[\begin{split} m&=|MB|\cdot a+|MC|\cdot 2a\\ &=2\cdot d(M,l)\cdot a+|MC|\cdot 2a\\ &=2a\big(d(M,l)+|MC|\big)\\ &\geqslant 2a\cdot d(C,l)\\ &=5a,\end{split}\]等号当 $M$ 在 $C$ 到 $l$ 的垂线段上时取得，因此所求最低费用为 $5a$ 万元．
