每日一题[3548]生根发芽

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#28

已知 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{10}$ 是 $1,2,3,\cdots,10$ 的排列，要求 $a_{i-1}$ 和 $a_{i+1}$ 一定有一个大于 $a_i$（$i=2,3,\cdots,9$），则满足要求的排列的总数为（       ）

A．$256$

B．$512$

C．$768$

D．$1024$

答案    B．

解析    考虑 $b_n:a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots,a_{10}-a_9$ 的各项符号，根据题意，相邻的两项不可能是前正后负，也即 $\{a_n\}_1^{10}$ 不可能先增后减，因此 $\{a_n\}_1^{10}$ 从 $1$ 开始，将 $2$ 安排在 $1$ 的左侧或右侧，有 $2$ 种方法；进而再安排 $3$ 的位置，放在 $1,2$ 的整体的左侧或者右侧，有 $2$ 种方法；以此类推，所求排列总数为 $2^9=512$．