每日一题[3538]反客为主

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#18

已知函数 $f(u)=u^2+a u+b-2$，$u=x+\dfrac{1}{x}$，$f(u)$ 有零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac2{\sqrt 5}$

B．$\dfrac{\sqrt 5}2$

C．$\dfrac 45$

D．$\dfrac 54$

答案    C．

解析    根据题意，关于 $x$ 的方程 $$x^2+ax+(b-2)=0$$ 在 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$ 上有实数解，上述方程即 $$ax+b=2-x^2,$$ 于是 $$a^2+b^2\geqslant \dfrac{(ax+b)^2}{x^2+1}=\dfrac{(2-x^2)^2}{x^2+1}=(x^2+1)+\dfrac{9}{x^2+1}-6\geqslant \dfrac 45,$$ 等号当 $x^2=4$ 时，即 $(a,b)=\left(-\dfrac 45,-\dfrac 25\right)$ 时可以取得，因此 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\dfrac 45$．