每日一题[3523]分类计数

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#3

已知点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leqslant 5, y \leqslant 4,~x, y \in \mathbb{N}^{\ast}\right\}$，则由 $S$ 中的点为顶点可以组成的不同的格点三角形的个数为（       ）

A．$1056$

B．$1058$

C．$1060$

D．$1062$

答案    A．

解析    从反面考虑，按三点共线时的直线斜率分类讨论如下： $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{斜率/共线点数}&3&4&5\\ \hline 0&0&0&4\\ \hline \pm\frac 12&2&0&0\\ \hline \pm 1&2&2&0\\ \hline \text{不存在}&0&5&0\\ \hline \text{合计}&8&9&4 \\ \hline\end{array}$$ 因此所求格点三角形个数为 $$\dbinom {20}3-\left(8\dbinom 33+9\dbinom 43+4\dbinom 53\right)=1140-(8+36+40)=1056.$$