2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#3
已知点集 $S=\left\{(x, y) \mid x \leqslant 5, y \leqslant 4,~x, y \in \mathbb{N}^{\ast}\right\}$，则由 $S$ 中的点为顶点可以组成的不同的格点三角形的个数为（ ）
A．$1056$
B．$1058$
C．$1060$
D．$1062$
答案 A．
解析 从反面考虑，按三点共线时的直线斜率分类讨论如下： \[\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{斜率/共线点数}&3&4&5\\ \hline 0&0&0&4\\ \hline \pm\frac 12&2&0&0\\ \hline \pm 1&2&2&0\\ \hline \text{不存在}&0&5&0\\ \hline \text{合计}&8&9&4 \\ \hline\end{array}\]因此所求格点三角形个数为\[ \dbinom {20}3-\left(8\dbinom 33+9\dbinom 43+4\dbinom 53\right)=1140-(8+36+40)=1056.\] 