2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#2
已知正数 a,b,c 满足 5a−3c⩽b⩽4a−c,clnb⩾a+clnc,则 ba ( )
A.最大值为 72
B.最小值为 e
C.不存在最大值
D.不存在最小值
答案 B.
解析 根据题意,有5−3ca⩽ba⩽4−ca,calnbc⩾1,不妨设 a=1,则{5−3c⩽b⩽4−c,b⩾ce1c,这是一个封闭区域,因此 b 既存在最大值也存在最小值,考虑到ce1c=e1c+lnc⩾e,等号当 c=1 时取得,从而 b 的最小值为 e.又5−3c⩽4−c⟹c⩾12⟹b⩽72,等号只能当 c=12 时取得,而此时ce1c=12e2>72,因此最大值取不到 72. 综上所述,选项 B 正确.