每日一题[3522]规划

2024年清华大学强基计划数学试题(回忆版)#2

已知正数 $a,b,c$ 满足 $5 a-3 c \leqslant b \leqslant 4 a-c$,$ c \ln b \geqslant a+c \ln c$,则 $\dfrac{b}{a}$ (       )

A.最大值为 $\dfrac 72$

B.最小值为 $\mathrm e$

C.不存在最大值

D.不存在最小值

答案   B.

解析    根据题意,有\[5-\dfrac {3c}a\leqslant \dfrac ba\leqslant 4-\dfrac ca,\quad \dfrac ca\ln\dfrac bc\geqslant 1,\]不妨设 $a=1$,则\[\begin{cases} 5-3c\leqslant b\leqslant 4-c,\\ b\geqslant c\mathrm e^{\frac 1c},\end{cases}\]这是一个封闭区域,因此 $b$ 既存在最大值也存在最小值,考虑到\[c\mathrm e^{\frac 1c}=\mathrm e^{\frac 1c+\ln c}\geqslant \mathrm e,\]等号当 $c=1$ 时取得,从而 $b$ 的最小值为 $\mathrm e$.又\[5-3c\leqslant 4-c\implies c\geqslant \dfrac 12\implies b\leqslant \dfrac 72,\]等号只能当 $c=\dfrac 12$ 时取得,而此时\[c\mathrm e^{\frac 1c}=\dfrac 12\mathrm e^2>\dfrac 72,\]因此最大值取不到 $\dfrac 72$. 综上所述,选项 $\boxed{B}$ 正确.

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