每日一题[3522]规划

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#2

已知正数 $a,b,c$ 满足 $5 a-3 c \leqslant b \leqslant 4 a-c$，$c \ln b \geqslant a+c \ln c$，则 $\dfrac{b}{a}$ （       ）

A．最大值为 $\dfrac 72$

B．最小值为 $\mathrm e$

C．不存在最大值

D．不存在最小值

答案   B．

解析    根据题意，有

$$5-\dfrac {3c}a\leqslant \dfrac ba\leqslant 4-\dfrac ca,\quad \dfrac ca\ln\dfrac bc\geqslant 1,$$ 不妨设 $a=1$，则 $$\begin{cases} 5-3c\leqslant b\leqslant 4-c,\\ b\geqslant c\mathrm e^{\frac 1c},\end{cases}$$ 这是一个封闭区域，因此 $b$ 既存在最大值也存在最小值，考虑到 $$c\mathrm e^{\frac 1c}=\mathrm e^{\frac 1c+\ln c}\geqslant \mathrm e,$$ 等号当 $c=1$ 时取得，从而 $b$ 的最小值为 $\mathrm e$．又 $$5-3c\leqslant 4-c\implies c\geqslant \dfrac 12\implies b\leqslant \dfrac 72,$$ 等号只能当 $c=\dfrac 12$ 时取得，而此时 $$c\mathrm e^{\frac 1c}=\dfrac 12\mathrm e^2>\dfrac 72,$$ 因此最大值取不到 $\dfrac 72$． 综上所述，选项 $\boxed{B}$ 正确．