每日一题[3476]三次函数性质

2024年广东四校高三年级第一次联考#10

设函数 $f(x)=(x-1)^2(x-4)$，则（        ）

A．$x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点

B．$f(2+x)+f(2-x)=-4$

C．不等式 $-4<f(2 x-1)<0$ 的解集为 $\{x\mid 1<x<2\}$

D．当 $0<x<\dfrac{\pi}2$ 时，$f(\sin x)>f\left(\sin^2 x\right)$

答案    BD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，$x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，根据三次函数的性质，$f(x)$ 的对称中心横坐标为 $x=1$ 和 $x=4$ 的三等分点（靠近极值点），为 $x=2$，而 $f(2)=-2$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，根据三次函数的性质，函数 $f(x)$ 的极小值点为 $x=1$ 和 $x=4$ 的三等分点（远离极值点），为 $x=3$，极小值为 $f(3)=-4$，因此 $$-4<f(2x-1)<0\iff 0<2x-1<4\iff \dfrac 12<x<\dfrac 52 ,$$ 选项错误；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $0<x<\dfrac{\pi}2$ 时，$1>\sin x>\sin^2x>0$，而 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，选项正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．