每日一题[3419]截距坐标公式

已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，其左右顶点分别为 $A,B$，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交双曲线 $E$ 于 $M,N$ 两点，设线段 $MF$ 的中点为 $P$，若直线 $BP$ 与直线 $AN$ 的交点在 $y$ 轴上，则双曲线 $E$ 的离心率为（      ）

A．$2$

B．$3$

C．$\sqrt 2$

D．$\sqrt 3$

答案    B．

解析    根据题意，有 $A(-a,0)$，$B(a,0)$，$M\left(c,\dfrac{b^2}a\right)$，$N\left(c,-\dfrac{b^2}a\right)$，$P\left(c,\dfrac{b^2}{2a}\right)$．设双曲线的半焦距为 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，由直线 $BP$ 与直线 $AN$ 的交点在 $y$ 轴上，根据截距坐标公式，有

$$\dfrac{c\cdot 0-a\cdot \dfrac{b^2}{2a}}{c-a}=\dfrac{(-a)\cdot \left(-\dfrac{b^2}a\right)-c\cdot 0}{-a-c},$$ 整理可得 $c=3a$，因此双曲线 $E$ 的离心率为 $3$．