每日一题[3417]极点极线

已知 A,B 是椭圆 E:x24+y2=1 的左、右顶点,点 M(m,0)m>0)与椭圆上的点的距离的最小值为 1

1、求点 M 的坐标.

2、过点 M 作直线 l 交椭圆 EC,D 两点(与 A,B 不重合),连接 AC,BD 交于点 G

① 证明:点 G 在定直线上;

② 是否存在点 G 使得 CGDG,若存在,求出直线 l 的斜率;若不存在,请说明理由.

解析

1、点 M 到椭圆上的点 (x,y) 的距离的平方d2=(mx)2+y2=(mx)2+114x2=34x22mx+m2+1,

其中 x[2,2]. 若 m(0,2],则当 x=m 时,有 d2=114m2<1,矛盾; 若 m(2,+),则 d2 的最小值当 x=2 时取得,为 m24m+4=1,解得 m=3

2、① 延长 ADBC 交于点 P,连结 PG 并延长,使之交 x 轴于点 H

根据极点极线的调和分割性质,PG 为点 M 对椭圆的极线,于是 PGABH,进而|OH||OM|=|OA|2=a2|OH|=43,

因此点 G 在定直线 x=43 上.

② 由于 G 点的轨迹为直线 x=43 中除去与椭圆的公共点的部分,因此存在点 G 使得 CGDG,此时 G(43,253),进而直线 AC,BD 的方程分别为 x=±5y2x=15y+2,与椭圆方程联立解得 C(29,±459)D(3821,±4521),因此直线 l 的斜率为 ±4525

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