已知 A,B 是椭圆 E:x24+y2=1 的左、右顶点,点 M(m,0)(m>0)与椭圆上的点的距离的最小值为 1.
1、求点 M 的坐标.
2、过点 M 作直线 l 交椭圆 E 于 C,D 两点(与 A,B 不重合),连接 AC,BD 交于点 G.
① 证明:点 G 在定直线上;
② 是否存在点 G 使得 CG⊥DG,若存在,求出直线 l 的斜率;若不存在,请说明理由.
解析
1、点 M 到椭圆上的点 (x,y) 的距离的平方d2=(m−x)2+y2=(m−x)2+1−14x2=34x2−2mx+m2+1,
其中 x∈[−2,2]. 若 m∈(0,2],则当 x=m 时,有 d2=1−14m2<1,矛盾; 若 m∈(2,+∞),则 d2 的最小值当 x=2 时取得,为 m2−4m+4=1,解得 m=3.
2、① 延长 AD 和 BC 交于点 P,连结 PG 并延长,使之交 x 轴于点 H.
根据极点极线的调和分割性质,PG 为点 M 对椭圆的极线,于是 PG⊥AB 于 H,进而|OH|⋅|OM|=|OA|2=a2⟹|OH|=43,
因此点 G 在定直线 x=43 上.
② 由于 G 点的轨迹为直线 x=43 中除去与椭圆的公共点的部分,因此存在点 G 使得 CG⊥DG,此时 G(43,2√53),进而直线 AC,BD 的方程分别为 x=±√5y−2 和 x=∓1√5y+2,与椭圆方程联立解得 C(29,±4√59) 和 D(3821,±4√521),因此直线 l 的斜率为 ±4√525.