每日一题[3400]极化恒等式

点 $P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为（       ）

A．$2$

B．$\dfrac{11}4$

C．$3$

D．$\dfrac{13}4$

答案    C．

解析    设 $AB$ 的中点为 $M$，则根据极化恒等式，有

$$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=|PM|^2-\dfrac14|AB|^2\leqslant |DM|^2-\dfrac 14|AB|^2=\left(|BM|^2+|BD|^2\right)-|BM|^2=|BD|^2=\left(\sqrt 3|AB|\right)^2=3.$$