每日一题[3397]四星连珠

在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，等轴双曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的中心均为 $O$，焦点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，焦距之比为 $2$．$C_1$ 的右焦点 $F$ 到 $C_1$ 的渐近线的距离为 $\sqrt 2$．

1、求 $C_1,C_2$ 的方程．

2、过 $F$ 的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $D,E$ 两点，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 的方向相同．

① 证明：$|AD|=|BE|$；

② 求 $\triangle AOD$ 面积的最小值．

解析

1、设双曲线 $C_1$ 的方程为 $x^2-y^2=a_1^2$，双曲线 $C_2$ 的方程为 $x^2-y^2=-a_2^2$，则根据题意有

$$\begin{cases} \dfrac{\sqrt 2a_1}{\sqrt 2 a_2}=2,\\ a_1=\sqrt 2,\end{cases}\iff \begin{cases} a_1=\sqrt 2,\\ a_2=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{cases}$$ 因此 $C_1$ 的方程为 $x^2-y^2=2$，$C_2$ 的方程为 $y^2-x^2=\dfrac 12$．

2、① 设直线 $ABDE$ 的方程为 $x=my+2$，与双曲线 $C_1$ 的方程联立可得

$$(m^2-1)y^2+4my+2=0,$$ 与双曲线 $C_2$ 的方程联立可得 $$(1-m^2)y^2-4my-\dfrac 92=0,$$ 设 $A,B,D,E$ 的纵坐标分别为 $y_1,y_2,y_3,y_3$，则 $$|AD|=|DE|\iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BE}\iff y_3-y_1=y_2-y_4\iff y_1+y_2=y_3+y_4,$$ 根据韦达定理即得．

② 根据韦达定理和 ① 的结果，有

$$\begin{cases} |y_1-y_2|=\dfrac{2\sqrt 2\cdot \sqrt{m^2+1}}{|m^2-1|},\\ |y_3-y_4|=\dfrac{\sqrt 2\cdot \sqrt{9-m^2}}{|m^2-1|},\end{cases}$$ 因此 $\triangle AOD$ 的面积 $$\begin{split} [\triangle AOD]&=\dfrac 12\cdot |OF|\cdot \left(\dfrac 12|y_3-y_4|-\dfrac 12|y_1-y_2|\right)\\ &=\dfrac 12\cdot 2\cdot \dfrac 12\left(\dfrac{\sqrt 2\cdot \sqrt{9-m^2}}{|m^2-1|}-\dfrac{2\sqrt 2\cdot \sqrt{m^2+1}}{|m^2-1|}\right)\\ &=\dfrac{\sqrt{\dfrac 92-\dfrac{m^2}2}-\sqrt{2m^2+2}}{|m^2-1|}\\ &=\dfrac{\sqrt 2}2\cdot \dfrac 5{\sqrt{9-m^2}+2\sqrt{m^2+1}}\\ &\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2\cdot \dfrac{5}{\sqrt {1^2+2^2}\cdot \sqrt{(9-m^2)+(m^2+1)}}\\ &=\dfrac 12,\end{split}$$ 其中用到了柯西不等式，等号当 $\dfrac{9-m^2}{m^2+1}=\dfrac 12$ 即 $m=\pm\sqrt{\dfrac{17}3}$ 时取得，因此所求面积的最小值为 $\dfrac 12$．