每日一题[3391]双曲线的垂径定理

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}4=1$ 的右焦点为 $F$，双曲线 $C$ 上有两点 $A,B$ 关于直线 $l: 3 x+y-8=0$ 对称，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=$（       ）

A．$2\sqrt 2$

B．$4\sqrt 2$

C．$2\sqrt 3$

D．$4\sqrt 3$

答案    B．

解析    设弦 $AB$ 的中点为 $M(m,n)$，坐标原点为 $O$，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=2|FM|$．根据双曲线的垂径定理，直线 $OM$ 的斜率

$$k_{OM}\cdot \left(-\dfrac{1}{-3}\right)=\dfrac{4}{12}\implies k_{OM}=1,$$ 于是 $$\begin{cases} 3m+n-8=0,\\ \dfrac nm=1,\end{cases}\iff \begin{cases} m=2,\\ n=2,\end{cases}$$ 因此所求值为 $2|FM|=4\sqrt 2$．