每日一题[3315]进阶放缩

已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=a\mathrm e^x+x^2-2 x+1$．

1、是否存在实数 $a$，使得 $x=2$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点．若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

2、求证：当 $a\in\left(-\dfrac 5 4,0\right)$ 时，$f(x)$ 图象上总存在关于原点对称的两点．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=a\mathrm e^x+2x-2,$$ 解方程 $f'(2)=0$ 可得 $a=-2\mathrm e^{-2}$，此时 $$f''(x)=-2\mathrm e^{x-2}+2,\quad f'''(x)=-2\mathrm e^{x-2},$$ 从而 $f''(2)=0$，$f'''(2)=-2$，因此 $x=2$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点．因此存在符合题意的 $a$，值为 $-2\mathrm e^{-2}$．

2、$f(x)$ 图象上存在关于原点对称的两点即关于 $x$ 的方程 $$f(x)+f(-x)=0\iff a\left(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}\right)+2x^2+2=0$$ 有解．设 $g(x)=\dfrac{x^2+1}{\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}}$，则上述方程即 $g(x)=-\dfrac a2$，只需要证明函数 $g(x)$ 的值域包含 $\left(0,\dfrac 58\right)$． 一方面，有 $$g(1)=\dfrac{2}{\mathrm e+\mathrm e^{-1}}>\dfrac{2}{2.8+\dfrac{1}{2.8}}=\dfrac{140}{221}>\dfrac 58.$$ 另一方面，当 $x>1$ 时，有 $$g(x)<\dfrac{x^2+1}{\mathrm e^x}<\dfrac {x^2+1}{1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3}<\dfrac{x^2+x^2}{\dfrac 16x^3}=\dfrac{12}{x},$$ 因此当 $x\to +\infty$ 时，有 $g(x)\to 0$． 综上所述，函数 $g(x)$ 的值域包含 $\left(0,\dfrac 58\right)$，命题得证．