每日一题[3309]椭圆三角形

设 $\triangle A_n B_n C_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）的内角 $A_n,B_n,C_n$ 的对边分別为 $a_n,b_n,c_n$，已知 $b_1>c_1$，$b_1+c_1=2 a_1$．

1、求 $A_1$ 的取值范围；

2、若对任意的 $n\in \mathbb N^{\ast}$，都有 $a_n=2$，且 $a_n,b_{n+1},c_n$ 成等差数列，$a_n,c_{n+1},b_n$ 也成等差数列．证明：$\triangle A_nB_nC_n$ 的周长为定值．

解析

1、根据正弦定理，有 $$2a_1=b_1+c_1\implies 2\sin A_1=\sin B_1+\sin C_1\implies \sin A_1=\sin\dfrac{B_1+C_1}{2}\cos\dfrac{B_1-C_1}2,$$ 进而 $$\sin A_1=\cos\dfrac{A_1}2\cos\dfrac{B_1-C_1}2\implies \sin\dfrac{A_1}2=\dfrac 12\cos\dfrac{B_1-C_1}2,$$ 从而 $\sin\dfrac{A_1}2$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$，所以 $A_1$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}3\right)$．

2、根据题意，有 $$\begin{cases} 2b_{n+1}=c_n+2,\\ 2c_{n+1}=b_n+2,\end{cases}\implies b_{n+1}+c_{n+1}=\dfrac 12(b_n+c_n)+2,$$ 从而 $$b_{n+1}+c_{n+1}-4=\dfrac 12(b_n+c_n-4),$$ 而 $b_1+c_1-4=2a_1-4=0$，因此 $b_n+c_n=4$，$\triangle A_nB_nC_n$ 的周长为定值 $6$，命题得证．