每日一题[3308]对峰函数

已知函数 $f(x)=\dfrac{x^n}{|x|-4}$，则下列结论正确的有（       ）

A．若 $n=2 k$（$k\in \mathbb N^{\ast}$），则 $f(x)$ 为偶函数

B．若 $n=2$，且函数 $y=f(x)-k$ 有两个不同的零点，则 $k$ 的取值范围为 $(-\infty,0)$

C．若 $n=1$，则当 $x_1,x_2\in(-4,4)$ 且 $x_1\neq x_2$ 时，一定有 $f\left(x_1\right)\neq f\left(x_2\right)$

D．若 $n=1$，且关于 $x$ 的方程 $k x=f(x)$ 在 $(-4,4)$ 内存在 $3$ 个实数解，则 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 1 4\right)$

答案    ACD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，当 $n$ 为偶数时，分子分母部分都是偶函数，选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，由于 $f(x)$ 是偶函数，因此只需要考虑 $x>0$ 且 $k\ne 0$ 的情形，此时

$$f(x)-k=0\iff \dfrac{x^2}{x-4}=k,$$ 当 $x\in (0,4)$ 时，左侧函数单调递减趋于 $-\infty$；当 $x\in (4,+\infty)$ 时，有 $$\dfrac{x^2}{x-4}=(x-4)+\dfrac{16}{x-4}+8,$$ 在 $x\in (4,8)$ 上单调递减，在 $(8,+\infty)$ 上单调递增，于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&&4^-&4^+&&8&& +\infty\\ \hline f(x)&0&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&16&\nearrow&+\infty \\ \hline\end{array}$$ 从而 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,0)\cup \{16\}$，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $n=1$ 时，函数 $f(x)$ 是 $x\in (-4,4)$ 上的单调递减函数，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，问题等价于题中方程在 $x\in(0,4)$ 上有唯一解，当 $n=1$ 且 $x\in (0,4)$，有

$$kx=f(x)\iff kx=\dfrac{x}{x-4}\iff k=\dfrac{1}{x-4},$$ 该方程在 $x\in(0,4)$ 上有唯一解等价于 $k<-\dfrac14$，选项正确；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．