每日一题[3304]面积转化

已知 $\triangle ABC$ 中．角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $a-c\cos 2 B=c+2 b\cos C\cos B$．

1、求 $B$ 的大小；

2、若 $a+c=6$，$b=\sqrt 3 a$，求 $\triangle ABC$ 外接圆的半径；

3、若点 $M$ 在线段 $AC$ 上．$\angle ABM=\angle CBM$，$BM=4$，求 $4 a+c$ 的最小值．

解析

1、根据正弦定理，有 $$\sin A-\sin C\cos 2B=\sin C+2\sin B\cos C\cos B,$$ 即 $$\sin A=\sin C+\sin(2B+C)\iff \sin A=\sin (A+B)+\sin(A-B)\iff \sin A=2\sin A\cos B,$$ 于是 $B=\dfrac{\pi}3$．

2、根据余弦定理，有 $$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\implies \dfrac 12=\dfrac{a^2+(6-a)^2-3a^2}{2a(6-a)},$$ 解得 $a=2$，于是 $b=2\sqrt 3$，所求外接圆半径为 $\dfrac{b}{2\sin B}=2$．

3、如图．

根据题意，有 $$[\triangle ABC]=[\triangle ABM]+[\triangle BCM]\implies ac\sin60^\circ=a\cdot BM\cdot \sin30^\circ+c\cdot BM\cdot \sin30^\circ\implies \dfrac 1a+\dfrac 1c=\dfrac{\sqrt 3}4,$$ 于是 $$4a+c\geqslant \dfrac{(2+1)^2}{\frac 1a+\frac 1c}=12\sqrt 3,$$ 等号当 $2a=c$ 时取得，因此所求最小值为 $12\sqrt 3$．