每日一题[3301]纠缠不清

已知函数 $f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$0<\varphi<\pi$），若 $f(x)$ 及其导函数 $f'(x)$ 的部分图象如图所示，则[[nn]]

A．$\varphi=\dfrac{\pi}3$

B．函数 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$ 上单调递增

C．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\dfrac{\pi}6$ 对称

D．$f(x)+f^{\prime}(x)$ 的最大值为 $3$

答案    AC．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=-A\omega\sin(\omega x+\varphi).$$

对于选项 $\boxed{A}$，观察 $x=0$ 右侧，两个函数均单调递减，因此在 $x$ 轴下方的图象为导函数图象，进而 $A=1$，$A\omega =2$，从而 $\omega=2$，结合 $x=\dfrac{\pi}3$ 是 $f'(x)$ 的上升零点，可得

$$\omega \cdot \dfrac{\pi}3+\varphi =k\pi+\pi\implies \omega=\dfrac{\pi}3,$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{B}$，$f'(x)=-2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}3\right)$，在 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$ 上先增后减，选项错误；

对于选项 $\boxed{C}$，$f(x)=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}3\right)$，选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，根据题意，有

$$f(x)+f^{\prime}(x)=\cos\left(2 x+\dfrac{\pi}3\right)-2\sin\left(2 x+\dfrac{\pi}3\right)=\sqrt 5\sin\left(2 x+\dfrac{\pi}3+\pi-\arctan\dfrac 12\right)\leqslant\sqrt 5,$$ 选项错误；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$．