每日一题[3291]联立与韦达

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，直线 $l: m y=x+3 m-2$ 恒过定点 $P$，且与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|PA|<|PB|$，则 $\dfrac{|PA|}{|PB|}$ 的取值范围为（       ）

A．$[1,2)$

B．$\left[\dfrac 1 3,\dfrac 1 2\right]$

C．$\left[\dfrac 1 2,\dfrac 4 5\right)$

D．$\left[\dfrac 1 3,1\right)$

答案    D．

解析    直线 $l$ 的方程即 $m(y-3)+(-x+2)=0$，于是直线 $l$ 恒过定点 $P(2,3)$，设直线 $l$ 的参数方程为 $x=2+t$，$y=3+kt$，点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$（$|t_1|<|t_2|$），则联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程有

$$\left(\dfrac 14+\dfrac13k^2\right)t^2+\left(2k+1\right)t+3=0,$$ 判别式 $\Delta=4k-2$，于是 $k$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\right)$．设 $\lambda=\dfrac{|t_1|}{|t_2|}$，则 $0<\lambda<1$，且 $$(2k+1)^2=\left(\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\cdot \left(\dfrac14+\dfrac 13k^2\right)\cdot 3,$$ 于是 $$\lambda+\dfrac{1}{\lambda}+2=\dfrac{4(2k+1)^2}{4k^2+3}=4+\dfrac{8(2k-1)}{4k^2+3}=4+\dfrac{8}{(2k—1)+\dfrac{4}{2k-1}+2}\leqslant 4+\dfrac{8}{4+2}=\dfrac{16}3,$$ 等号当 $k=\dfrac 32$ 时可以取得，因此 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,1\right)$．