已知 $\tan\alpha\cdot\tan (\alpha+\beta)=1$，$\tan (3\alpha+2\beta)=m$，则 $\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 m$
B．$-m$
C．$m$
D．$3\sqrt 3 m^2$
答案 A．
解析 即 $\tan\alpha\cdot\tan\beta=1$，$\tan(\alpha+2\beta)=m$，求 $\tan\beta$，记 $\tan \beta=x$，则 $\tan\alpha=\dfrac1x$，$\tan2\beta=\dfrac{2x}{1-x^2}$，从而\[m=\dfrac{\dfrac 1x+\dfrac{2x}{1-x^2}}{1-\dfrac 1x\cdot \dfrac{2x}{1-x^2}}=-\dfrac 1x,\]于是 $x=-\dfrac 1m$．
备注 由 $\tan\alpha\cdot\tan\beta=1$，可得 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2$，于是\[m=\tan\left(\dfrac{\pi}2+\beta\right)\implies m=-\dfrac 1x.\]