每日一题[3288]换元与消元

已知 $\tan\alpha\cdot\tan (\alpha+\beta)=1$，$\tan (3\alpha+2\beta)=m$，则 $\tan (\alpha+\beta)=$ （       ）

A．$-\dfrac 1 m$

B．$-m$

C．$m$

D．$3\sqrt 3 m^2$

答案    A．

解析    即 $\tan\alpha\cdot\tan\beta=1$，$\tan(\alpha+2\beta)=m$，求 $\tan\beta$，记 $\tan \beta=x$，则 $\tan\alpha=\dfrac1x$，$\tan2\beta=\dfrac{2x}{1-x^2}$，从而

$$m=\dfrac{\dfrac 1x+\dfrac{2x}{1-x^2}}{1-\dfrac 1x\cdot \dfrac{2x}{1-x^2}}=-\dfrac 1x,$$ 于是 $x=-\dfrac 1m$．

备注    由 $\tan\alpha\cdot\tan\beta=1$，可得 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}2$，于是

$$m=\tan\left(\dfrac{\pi}2+\beta\right)\implies m=-\dfrac 1x.$$