每日一题[3287]三仙归洞

已知拋物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$），过点 $P(2,1)$ 作斜率为 $k_1, k_2$ 的直线 $l_1, l_2$，分别交抛物线于 $A, B$ 与 $M, N$，当 $k_1=2$ 时，$P$ 为 $A B$ 的中点．

1、求抛物线 $C$ 的方程；

2、若 $|P M| \cdot|P N|=|P A| \cdot|P B|$，证明：$k_1+k_2=0$；

3、若直线 $A M$ 过点 $Q(-2,0)$，证明：直线 $B M$ 过定点，并求出该定点坐标．

解析

1、设 $A(2pa^2,2pa)$，$B(2pb^2,2pb)$，则

$$\begin{cases} k_1=\dfrac{2pa-2pb}{2pa^2-2pb^2}=2,\\ 2pa^2+2pb^2=4,\\ 2pa+2pb=2,\end{cases}\implies p=2,$$ 于是抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$．

2、设过 $P$ 的直线的参数方程为 $x=2+t\cos\theta$，$y=1+t\sin\theta$，其中 $\theta$ 为直线的倾斜角，联立该方程与抛物线方程，有

$$(1+t\sin\theta)^2=4(2+t\cos\theta)\iff \sin^2\theta\cdot t^2+(2\sin\theta-4\cos\theta)\cdot t-7=0,$$ 设直线 $MN,AB$ 的倾斜角分别为 $\theta_1,\theta_2$（$\theta_1,\theta_2\in [0,\pi)$），点 $M,N,A,B$ 的参数分别为 $t_1,t_2,t_3,t_3$，则 $$|PM|\cdot |PN|=|PA|\cdot |PB|\iff |t_1t_2|=|t_3t_4|\iff \left|-\dfrac{7}{\sin^2\theta_1}\right|=\left|-\dfrac{7}{\sin^2\theta_2}\right|\iff \sin\theta_1=\sin\theta_2,$$ 而 $\theta_1\ne \theta_2$，因此 $\theta_1+\theta_2=\pi$，进而 $k_1+k_2=0$．

3、设 $A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，$M(4m^2,4m)$，则

$$\begin{split} AB&:x-(a+b)y+4ab=0,\\ AM&:x-(a+m)y+4am=0,\\ BM&:x-(b+m)y+4bm=0,\end{split}$$ 又直线 $AB$ 过点 $P(2,1)$，直线 $AM$ 过点 $Q(-2,0)$，于是 $$\begin{cases} 2-(a+b)+4ab=0,\\ -2+4am=0,\end{cases}\implies 2-\left(\dfrac{1}{2m}+b\right)+\dfrac{4b}{2m}=0,$$ 也即 $$2-8(b+m)+4bm=0,$$ 因此直线 $BM$ 过定点 $(2,8)$．