每日一题[3280]角度与斜率

已知椭圆 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P(0, \sqrt{3})$，$A_1, A_2$ 为 $\Gamma$ 的左、右顶点，且直线 $P A_1, P A_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac{3}{4}$，动点 $Q(m, n)$ 在 $\Gamma$ 上，其中 $m<0$，$n>0$，直线 $l: 3 m x+4 n y=0$ 与 $\Gamma$ 在第一象限的交点为 $R$，点 $T$ 在线段 $O R$ 上（$O$ 为坐标原点），且 $|Q T|=2$． 

1、求椭圆 $\Gamma$ 的方程；

2、直线 $Q T$ 过定点 $S$，并求出定点 $S$ 的坐标．

解析

1、由经过点 $P(0, \sqrt{3})$ 可得 $b=\sqrt 3$，椭圆根据椭圆的直线斜率积定义，有 $-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac 34$，所求椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、设 $R$ 关于原点的对称点为 $P$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\Gamma$ 的右、左焦点，直线 $QF_1,QF_2$ 分别与直线 $PR$ 交于点 $T',N$，如图．

直线 $QF_1,QF_2,PR$ 的斜率分别为 $k_1=\dfrac{n}{m-1}$，$k_2=\dfrac{n}{m+1}$，$k=-\dfrac{3m}{4n}$，而

$$\dfrac{2k}{1-k^2}=\dfrac{k_1+k_2}{1-k_1k_2}\iff \dfrac{24mn}{9m^2-16n^2}=\dfrac{2mn}{m^2-n^2-1}\iff 3m^2+4n^2=12,$$ 于是 $\angle QNT'=\angle QT'P$，进而根据正弦定理，有 $$\dfrac{|NF_2|}{\sin\angle F_2ON}=\dfrac{|OF_2|}{\sin\angle QNT'}=\dfrac{|OF_1|}{\sin\angle QT'N}=\dfrac{|T'F_1|}{\sin\angle T'OF_1}\implies |NF_2|=|T'F_1|,$$ 即 $$|QN|-|QF_2|=|QF_1|-|QT'|\implies |QN|+|QT'|=|QF_1|+|QF_2|\implies |QN|=|QT'|=2,$$ 因此 $T=T'$，$S=F_1$，直线 $QT$ 过定点 $S(1,0)$．