每日一题[3276]极点极线

已知双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右顶点 $A(1,0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$．

1、求双曲线 $C$ 的方程；

2、设过点 $B(1,1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A Q$ 交于点 $R$，证明：以线段 $P R$ 的中点 $M$ 为圆心且过坐标原点的圆还过其它定点 $T$．

解析

1、根据题意，有 $a=1$，且右顶点 $A(a,0)$ 到渐近线 $bx\pm ay=0$ 点的距离

$$\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{\sqrt 6}3,$$ 于是 $a^2=1$，$b^2=2$，所求双曲线的方程为 $x^2-\dfrac{y^2}2=1$．

2、设极点 $B$ 关于双曲线 $C$ 的极线方程为 $l:2x-y-2=0$，直线 $l$ 过点 $A$，设直线 $l$ 分别交直线 $PQ,PR$ 于点 $N,M'$，连接 $AB$． 由于 $B$ 与 $l$ 是一组极点极线，于是 $[P,Q;B,N]$，考虑调和线束 $AP,AQ,AN,AB$ 与截线 $PR$，有 $[P,R;M',\infty]$，于是 $M'$ 为 $PR$ 的中点，从而 $M$ 在定直线 $l:2x-y-2=0$ 上，进而以线段 $P R$ 的中点 $M$ 为圆心且过坐标原点的圆还过其它定点 $T$，定点 $T$ 为原点 $O$ 关于直线 $l$ 的对称点 $\left(\dfrac 85,-\dfrac 45\right)$．