每日一题[3275]联立与韦达

已知椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A$ 为 $E$ 的左顶点，$B$ 为 $E$ 的上顶点，$E$ 的离心率为 $\dfrac 1 2$，$\triangle ABO$ 的面积为 $\sqrt 3$．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、过点 $P(-2,1)$ 的直线交 $E$ 于 $M, N$ 两点，点 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交直线 $AN$ 于点 $H$，证明：线段 $MN$ 的中点 $T$ 在定直线上．

解析

1、根据题意，有 $$\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac 12,\\ \dfrac 12ab=\sqrt 3,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=3,\end{cases}$$ 因此所求椭圆方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、根据题意，过点 $P(-2,1)$ 的直线斜率存在，设方程为 $k x-y-(k+2)=0$，设 $M\left(x_1,y_1\right),N\left(x_2,y_2\right)$，联立直线 $MN$ 的方程与椭圆方程，可得 $$\left(4 k^2+3\right) x^2+8 k(2 k+1) x+8\left(2 k^2+2 k-1\right)=0,$$ 根据韦达定理，有 $$x_1+x_2=-\dfrac{8 k(2 k+1)}{4 k^2+3},\quad x_1 x_2=\dfrac{8\left(2 k^2+2 k-1\right)}{4 k^2+3},$$ 进而 $$y_1+y_2=\dfrac{6(2 k+1)}{4 k^2+3},\quad x_1 y_2+x_2 y_1=\dfrac{-24 k}{3 k^2+4},$$ 联立直线 $AN: y=\dfrac{y_2}{x_2+2}(x+2)$ 和 $x=x_1$，可得 $$H\left(x_1,\dfrac{y_2\left(x_1+2\right)}{x_2+2}\right),\quad T\left(x_1,\dfrac 1 2\left(y_1+\dfrac{y_2\left(x_1+2\right)}{x_2+2}\right)\right),$$ 令 $$x=x_1\in[-2,2],\quad y=\dfrac 1 2\left(y_1+\dfrac{y_2\left(x_1+2\right)}{x_2+2}\right)=\dfrac{x_1 y_2+x_2 y_1+2\left(y_1+y_2\right)}{2\left(x_2+2\right)},$$ 此时 $$\dfrac{2 y}{x+2}=\dfrac{x_1 y_2+x_2 y_1+2\left(y_1+y_2\right)}{\left(x_2+2\right)\left(x_1+2\right)}\iff \dfrac{2 y}{x+2}=\dfrac{x_1 y_2+x_2 y_1+2\left(y_1+y_2\right)}{x_1 x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4},$$ 代入可得 $$\dfrac{2 y}{x+2}=\dfrac{-24 k+12(2 k+1)}{8\left(2 k^2+2 k-1\right)-16 k(2 k+1)+4\left(4 k_2+3\right)}\iff \dfrac{2 y}{x+2}=3 ,$$ 即 $T$ 所在的定直线为 $3 x-2 y+6=0$．