每日一题[3274]三连击

若存在实数 $k$ 和周期函数 $h(x)$，使得 $f(x)=k x+h(x)$，则称 $f(x)$ 是好函数．

1、判断 $u(x)=\sin x$，$v(x)=x+x^2$ 是否是好函数，证明你的结论；

2、对任意实数 $x$，函数 $f(x), g(x)$ 满足 $g(f(x))=x$，$f(g(x))=x$，若 $f(x)$ 是好函数， ① 当 $f(x)=2 x$ 时，求 $g(x)$； ② 求证：$f(x)$ 不是周期函数； ③ 求证：$g(x)$ 是好函数．

解析

1、根据好函数的定义，函数 $f(x)$ 是好函数等且仅当存在实数 $k$，使得 $f(x)-kx$ 是周期函数．因此 $u(x)=\sin x$ 是好函数（$k=0$），而 $v(x)-kx=(1-k)x+x^2$，存在零点且为有限个，不可能是周期函数． 综上所述，函数 $u(x)$ 是好函数，函数 $v(x)$ 不是好函数．

2、① 当 $f(x)=2x$ 时，有 $g(2x)=x$，从而 $g(x)=\dfrac 12x$； ② 若函数 $f(x)$ 是周期为 $T$（$T\ne 0$）的函数，则

$$x=g(f(x))=g(f(x+T))=x+T,$$ 矛盾，因此 $f(x)$ 不是周期函数； ③ 设 $f(x)-kx$（由 ② 的结论可得 $k\ne 0$）是周期为 $T$（$T\ne 0$）的函数，则 $$f(x+T)-k(x+T)=f(x)-kx\implies f(x+T)=f(x)+kT,$$ 于是 $$g(f(x+T))=g(f(x)+kT)\implies g(f(x))+T=g(f(x)+kT),$$ 由 $f(g(x))=x$ 可得 $f(x)$ 的值域为 $\mathbb R$，于是 $$g(x-kT)+T=g(x)\implies g(x-kT)-\dfrac 1k(x-kT)=g(x)-\dfrac 1kx,$$ 于是函数 $g(x)-\dfrac 1k$ 是周期为 $-kT$ 的周期函数，命题得证．