每日一题[3273]值域莫测

已知当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin x<x$．

1、证明：当 $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{1}{2}$； 设 $f(x)=m \sin x$，

2、若区间 $[a, b]$ 满足当 $f(x)$ 定义域为 $[a, b]$ 时，值域也为 $[a, b]$，则称为 $f(x)$ 的和谐区间．

① 当 $m=1$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由；

② 当 $m=-2$ 时，$f(x)$ 是否存在和谐区间？若存在，求出所有和谐区间，若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\dfrac{\sin x}{x}>1-\dfrac{x^2}6>1-\dfrac{\left(\frac{\pi}2\right)^2}6>\dfrac 12,$$ 命题得证．

2、① 当 $m=1$ 时，$f(x)$ 的值域 $[a,b]$ 为 $[-1,1]$ 的子集，因此函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上为单调递增函数，从而 $x=a,b$ 是关于 $x$ 的方程 $f(x)=x$ 的两个实数解，但根据已知，$f(x)=x$ 只有唯一实数解 $x=0$，因此不存在和谐区间．

② 当 $m=-2$ 时， 由于 $f(a)$ 与 $a$ 异号，$f(b)$ 与 $b$ 异号，因此 $a,b$ 必然异号（否则 $f(a)\notin [a,b]$． 若 $-\dfrac{\pi}2\leqslant a<b\leqslant \dfrac{\pi}2$，则

$$\begin{cases} f(a)=b,\\ f(b)=a,\end{cases}\implies \begin{cases} -2\sin a=b,\\ -2\sin b=a,\end{cases}\implies (2\sin a-a)+(2\sin b-b)=0,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结果，这不可能； 若 $a<-\dfrac{\pi}2$，则 $b=2$，进一步 $a=-2$，符合题意．

综上所述，所有的和谐区间为 $[-2,2]$．