每日一题[3249]最小位置

已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y=0$，直线 $l: x+y+1=0$，$P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A,P B$，且切点为 $A,B$，当 $|P C| \cdot|A B|$ 最小时，则直线 $A B$ 的方程为_______．

答案    $2x+2y-1=0$．

解析    圆 $C$ 即 $(x-2)^2+(y-1)^2=5$，设 $|PC|=x$，则

$$|PA|=|PB|=\sqrt{x^2-5},$$ 设 $AB$ 的中点为 $M$，则根据射影定理，有 $$|PA|^2=|PM|\cdot |PC|\implies |PM|=\dfrac{x^2-5}{x},$$ 因此 $$\begin{split} |PC|\cdot |AB|&=|PC|\cdot 2|AM|\\ &=|PC|\cdot 2\sqrt{|PA|^2-|PM|^2}\\ &=x\cdot 2\sqrt{x^2-5-\left(x-\dfrac 5x\right)^2}\\ &=2\sqrt{5x^2-25}, \end{split}$$ 因此当 $|P C| \cdot|A B|$ 最小时，$x$ 最小，此时 $P$ 为 $C$ 在直线 $l$ 上的投影 $(0,-1)$，对应直线 $AB$ 的方程为 $$(0-2)(x-2)+(-1-1)(y-1)=5,$$ 即 $2x+2y-1=0$．