每日一题[3238]阿贝尔求和

设 $n$ 为给定的正整数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为满足对每个 $m \leqslant n$ 都有 $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{m} \frac{a_{k}}{k}\right| \leqslant 1$ 的一列实数，求 $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right|$ 的最大值．

答案    $2n-1$．

解析    根据题意，有

$$\begin{split} \left|\sum_{k=1}^na_k\right|&=\left|\sum_{k=1}^n\left(k\cdot \dfrac{a_k}{k}\right)\right|\\ &=\left|n\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k}-\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^m\dfrac{a_k}{k}\right|\\ &\leqslant n\left|\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k}\right|+\sum_{m=1}^{n-1}\left|\sum_{k=1}^m\dfrac{a_k}{k}\right|\\ &\leqslant n+(n-1)\\ &=2n-1,\end{split}$$ 等号当 $a_n:~-1,0,\cdots,0,2n$ 时取得，因此所求最大值为 $2n-1$．