每日一题[3235]向量定位

已知 $\triangle A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A(0,0), B(7,0), C(3,4)$，过点 $D\left(6-2 \sqrt{2}, 3-\sqrt{2}\right)$ 的直线分别与线段 $A C,B C$ 交于 $P,Q$．若 $\triangle P Q C$ 的面积为 $4\sqrt 2$，则 $|C P|+|C Q|=$ _______．

答案    $\dfrac 87\left(2+3\sqrt 2\right)$．

解析    设 $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ 上的单位向量分别为 $\boldsymbol a=\left(-\dfrac 35,-\dfrac45\right),\boldsymbol b=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,-\dfrac{\sqrt 2}2\right)$，则 $\overrightarrow{CA}=5\boldsymbol a$，$\overrightarrow{CB}=4\sqrt 2\boldsymbol b$，设 $\overrightarrow{CP}=x\boldsymbol a$，$\overrightarrow{CQ}=y\boldsymbol b$． 一方面，设 $\overrightarrow{CD}=p\boldsymbol a+q\boldsymbol b$，则 $$\left(3-2\sqrt 2,-1-\sqrt 2\right)=p\left(-\dfrac 35,-\dfrac45\right)+q\left(\dfrac{\sqrt 2}2,-\dfrac{\sqrt 2}2\right),$$ 解得 $$p=q=\dfrac{5(3\sqrt 2-2)}7,$$ 而 $\overrightarrow{CD}=\dfrac px\overrightarrow{CP}+\dfrac qy\overrightarrow{CQ}$，于是 $$\dfrac px+\dfrac qy=1\implies \dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac 1p=\dfrac{2+3\sqrt 2}{10}.$$ 另一方面，考虑 $\triangle CPQ$ 与 $\triangle CAB$ 的面积之比，有 $$\dfrac{[\triangle CPQ]}{[\triangle CAB]}=\dfrac{CP}{CA}\cdot \dfrac{CQ}{CB}\implies \dfrac x5\cdot \dfrac y{4\sqrt 2}=\dfrac{4\sqrt 2}{14}\implies xy=\dfrac{80}7.$$ 因此有 $$|CP|+|CQ|=x+y=xy\left(\dfrac 1x+\dfrac 1y\right)=\dfrac{80}7\cdot \dfrac{2+3\sqrt2}{10}=\dfrac 87\left(2+3\sqrt 2\right).$$