每日一题[3233]先分再合

对于正整数 $n$ ，若 $(x y-5 x+3 y-15)^{n}$ 展开式经同类项合并， $x^{i} y^{j}$ （ $i,j=0,1, \cdots, n$ ）合并后至少有 $2021$ 项，则 $n$ 的最小值为_______．

答案 $44$ ．

解析根据题意，有

(x y - 5 x + 3 y - 15)^{n} = (x + 3)^{n} (y - 5)^{n},

$(x y-5 x+3 y-15)^{n}=(x+3)^n(y-5)^n,$ 因此

(x y - 5 x + 3 y - 15)^{n}

$(x y-5 x+3 y-15)^{n}$ 展开式经同类项合并后有

(n + 1)^{2}

$(n+1)^2$ 项，于是

(n + 1)^{2} ⩾ 2021 ⟹ n + 1 ⩾ 45 ⟹ n ⩾ 44,

$(n+1)^2\geqslant 2021\implies n+1\geqslant 45\implies n\geqslant 44,$ 因此

n

$n$ 的最小值为

44

$44$ ．

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