每日一题[3233]先分再合

对于正整数 $n$，若 $(x y-5 x+3 y-15)^{n}$ 展开式经同类项合并，$x^{i} y^{j}$（$i,j=0,1, \cdots, n$）合并后至少有 $2021$ 项，则 $n$ 的最小值为_______．

答案    $44$．

解析    根据题意，有

$$(x y-5 x+3 y-15)^{n}=(x+3)^n(y-5)^n,$$ 因此 $(x y-5 x+3 y-15)^{n}$ 展开式经同类项合并后有 $(n+1)^2$ 项，于是 $$(n+1)^2\geqslant 2021\implies n+1\geqslant 45\implies n\geqslant 44,$$ 因此 $n$ 的最小值为 $44$．