每日一题[3228]巧妙消元

设 $m>0$．若对于满足 $a b c \leqslant \dfrac{1}{4}$ 且 $\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}<m$ 的任意一组正数 $a,b,c$，均存在以 $a,b,c$ 为三边长的三角形，求实数 $m$ 的最大值，说明理由．

答案    $9$．

解析    取 $(a,b,c)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12,1\right)$，则 $\dfrac 1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac 1{c^2}=9$，因此 $m\leqslant 9$．

接下来证明当 $m=9$ 时符合题意，不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则只需要证明若 $c\geqslant a+b$，则 $$\dfrac 1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}\geqslant 9,$$ 事实上，有 $$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\geqslant \dfrac{2}{ab}+16a^2b^2,$$ 而 $$c\geqslant a+b\geqslant 2\sqrt{ab}\implies abc\geqslant 2(ab)^{\frac 32}\implies ab\leqslant \dfrac 14,$$ 从而 $\dfrac{2}{ab}+16a^2b^2\geqslant 9$，命题得证．

综上所述，实数 $m$ 的最大值为 $9$．