每日一题[3227]三次方程

已知曲线 $C$ 的方程为 $\left(x^{2}+y\right)(x+y)=0$，直线 $l: y=k x+b$ 与曲线 $C$ 交于三个不同的点 $A,B,C$．

1、若 $b=\dfrac{1}{16}$，求 $k$ 的取值范围．

2、若 $b=1$，且 $|A B|=|B C|$，求 $k$ 的值．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} (x^2+y)(x+y)=0,\\ y=kx+b,\end{cases}\implies (x^2+kx+b)\big((k+1)x+b\big)=0,$$ 该方程有三个实数解即 $$\begin{cases} k^2-4b>0,\\ k+1\ne 0,\\ x^2+kx+b\Big|_{x=-\frac b{k+1}}\ne 0,\end{cases}\iff \begin{cases} k<-\dfrac 12~\text{或}~k>\dfrac 12,\\ k\ne -1,\\ k\ne -\dfrac{17}{16},\end{cases}$$ 因此 $k$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right)\cup\left(\dfrac 12,+\infty\right)\setminus \left\{-\dfrac{17}{16},-1\right\}$．

2、当 $b=1$ 时，考虑方程

$$(x^2+kx+1)\big((k+1)x+1\big)=0,$$ 设关于 $x$ 的方程 $x^2+kx+1=0$ 的两个实数解（$k^2-4>0$）分别为 $x_1,x_2$（$x_1,x_2)$，$x_3=-\dfrac{1}{k+1}$，则根据题意，有 $x_3$ 的所有可能取值为 $2x_1-x_2,\dfrac{x_1+x_2}2,2x_2-x_1$，即 $$\dfrac{-k-3\sqrt{k^2-4}}2,-\dfrac k2,\dfrac{-k+3\sqrt{k^2-4}}2,$$ 即 $$\begin{split} 3\sqrt{k^2-4}=\dfrac{(2+k)(1-k)}{k+1},\\ (2+k)(1-k)=0,\\ 3\sqrt{k^2-4}=-\dfrac{(2+k)(1-k)}{k+1},\end{split}$$ 也即 $$\begin{split} 9\cdot \dfrac{k-2}{k+2}=\left(\dfrac{k-1}{k+1}\right)^2,\\ k=-2,1,\end{split}$$ 其中 $k=-2,1$ 舍去，剩下的方程即 $$2k^3-6k-5=0,$$ 设 $k=t+\dfrac 1t$，则该方程即 $$2t^6-5t^3+2=0\iff t=2^{\frac 13},2^{-\frac 13},$$ 从而 $k=2^{\frac 13}+2^{-\frac 13}$．