每日一题[3223]卫星圆

已知椭圆 $C: ~\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{2}$．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、我们称圆心在椭圆 $C$ 上运动，半径为 $\dfrac{a}{2}$ 的圆是椭圆 $C$ 的“卫星圆”，过原点 $O$ 作椭圆 $C$ 的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若直线 $O A, O B$ 的斜率存在，记为 $k_{1}, k_{2}$．

① 求证：$k_{1} k_{2}$ 为定值；

② 试问 $|O A|^{2}+|O B|^{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 6}3,\\ \dfrac 12\cdot 2\sqrt{a^2-b^2}\cdot 2b=4\sqrt 2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=6,\\ b^2=2,\end{cases}$$ 因此所求椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}2=1$．

2、① 根据题意，设 $C(x_0,y_0)$，则 $\dfrac{x_0^2}6+\dfrac{y_0^2}2=1$，且 $k_1,k_2$ 是关于 $k$ 的方程

$$\dfrac{|kx_0-y_0|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac{\sqrt 6}2\iff (2x_0^2-3)k^2-4x_0y_0\cdot k+2y_0^2-3=0$$ 的两根，因此 $$k_1k_2=\dfrac{2y_0^2-3}{2x_0^2-3}=\dfrac{2y_0^2-3}{2\cdot 6\left(1-\dfrac{y_0^2}2\right)-3}=-\dfrac13,$$ 命题得证．

② 根据题意，有

$$\begin{split} |OA|^2+|OB|^2&=(1+k_1^2)\cdot \dfrac{6}{3k_1^2+1}+(1+k_2^2)\cdot \dfrac 6{3k_2^2+1}\\ &=\dfrac{6\left(6k_1^2k_2^2+4k_1^2+4k_2^2+2\right)}{9k_1^2k_2^2+3k_1^2+3k_2^2+1}\\ &=\dfrac{24k_1^2+24k_2^2+16}{3k_1^2+3k_2^2+2}\\ &=8,\end{split}$$ 为定值．