每日一题[3217]积分放缩

已知

$$(n+1)^{\alpha+1}-n^{\alpha+1}<n^\alpha(\alpha+1)<n^{\alpha+1}-(n-1)^{\alpha+1},\quad -1<\alpha<0,$$ 设 $x=\displaystyle\sum_{k=4}^{10^6} \frac{1}{\sqrt[3]{k}}$，则 $x$ 的整数部分为_______．

答案    $14996$．

解析    取 $\alpha=-\dfrac 13$，$n=4,5,6,\cdots,10^6$，各式相加可得

$$\left(10^6+1\right)^{\frac 23}-4^{\frac 23}<\dfrac 23\sum_{k=4}^{10^6}\dfrac1{\sqrt[3]k}<\left(10^6\right)^{\frac 23}-3^{\frac 23},$$ 于是 $$\dfrac 32\left(10^6+1\right)^{\frac 23}-\dfrac 32\cdot 4^{\frac 23}<x<15000-\dfrac 32\cdot 3^{\frac 23},$$ 一方面，有 $$\dfrac 32\cdot 3^{\frac 23}>3\impliedby 3^2>2^3,$$ 于是 $$15000-\dfrac 32\cdot 3^{\frac 23}<14997,$$ 另一方面，有 $$\dfrac 32\cdot 4^{\frac 23}<4\impliedby 3^3<2^5,$$ 于是 $$\dfrac 32\left(10^6+1\right)^{\frac 23}-\dfrac 32\cdot 4^{\frac 23}>15000-4=14996,$$ 综上所述，$x$ 的整数部分为 $14996$．

备注    题中辅助不等式的证明：当 $\alpha\in (-1,0)$ 时，考虑单调递减函数 $f(x)=(\alpha+1)x^\alpha$，有

$$\int_n^{n+1}f(x){ {\rm d}} x<f(n)<\int_{n-1}^nf(x){ {\rm d}} x,$$ 即得．