每日一题[3203]分离变量

存在 $x\in\mathbb R$，使 $x^2+|x-a|-2<0$ 成立，其中 $a \in \mathbb{Z}$，则所有满足条件的 $a$ 的和为_______．

答案    $0$．

解析    根据题意，不等式 $x^2+|x-a|-2<0$ 即

$$|x-a|<2-x^2\iff -(2-x^2)+x<a<(2-x^2)+x,$$ 即 $$x^2+x-2<a<-x^2+x+2,$$ 在坐标系 $xOy$ 中画出函数 $y=x^2+x-2$ 和 $y=-x^2+x+2$ 之间的部分，可得整数的 $a$ 的可能取值为 $-2,-1,0,1,12$，所求和为 $0$．