每日一题[3209]分组统计

平面 $\alpha$ 与长方体的六个面所成的角分别为 $\theta_i$（$i=1,2,3, \cdots, 6$），则 $\displaystyle\sum_{i=1}^6 \sin ^2 \theta_i$ 的值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．$6$

答案    C．

解析    设平面 $\alpha$ 的单位法向量为 $(a,b,c)$，其中 $a^2+b^2+c^2=1$，长方体从某个顶点出发的三个面的法向量分别为 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$，则有

$$\displaystyle\sum_{i=1}^6 \sin ^2 \theta_i=6-\sum_{i=1}^6 \cos ^2 \theta_i=6-2\sum_{\rm cyc}a^2=4.$$