每日一题[3208]必胜策略

甲、乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选 $3$ 条棱涂成红色，然后乙从余下的 $9$ 条棱中任选 $3$ 条涂成绿色，接着甲从余下的 $6$ 条棱中任选 $3$ 条涂成红色，最后乙将余下的 $3$ 条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的 $4$ 条边全都涂成红色，甲就获胜，试问甲有必胜的策略吗？说明理由．

解析    将正方体的 $12$ 条棱分成 $4$ 组：

$$\begin{split} & \left\{A_1 B_1, B_2 B_3, A_3 A_4\right\},\left\{A_2 B_2, B_3 B_4, A_4 A_1\right\}, \\ & \left\{A_3 B_3, B_4 B_1, A_1 A_2\right\},\left\{A_4 B_4, B_1 B_2, A_2 A_3\right\} . \end{split}$$

当甲第一次涂红 $3$ 条棱后，由抽屉原理知，上述 $4$ 组 棱中总有一组的 $3$ 条棱均未被涂红．乙只要将这一组的 $3$ 条棱涂绿，则正方体的 $6$ 个面上就各有一条绿边．可见，甲没有必胜策略．