每日一题[3204]分类统计

甲烷分子 $\mathrm{CH}_4$ 的四个氢原子位于棱长为 $1$ 的正四面体的四个顶点，碳原子 ${\rm C}$ 位于正四面体的中心 $C_0$．记四个氢原子分别为 $H_1,H_2,H_3,H_4$，则 $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \overrightarrow{C_0 H_i} \cdot \overrightarrow{C_0 H_j}=$ _______．

答案    $-\dfrac 34$．

解析    设 $M=\displaystyle\sum_{i=1}^{4}\overrightarrow{C_0H_i}^2$，$N=\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 4}\overrightarrow{C_0H_i}\cdot \overrightarrow{C_0H_j}$，则而

$$\left(\sum_{i=1}^4\overrightarrow{C_0H_i}\right)^2=M+2N=0,$$ 于是 $$N=-\dfrac 12M=-\dfrac 12\cdot 4\left(\dfrac{\sqrt 6}4\right)^2=-\dfrac 34.$$