每日一题[3190]联立与韦达定理

如图所示，$A B C D$ 是一个矩形，$A B=8$，$B C=4$，$M,N$ 分别 是 $A B,C D$ 的中点，以某动直线 $l$ 为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点 $M$ 都落在边 $C D$ 上，记为 $M^{\prime}$．过 $M^{\prime}$ 作 $M^{\prime} P$ 垂直于 $C D$ 交直线 $l$ 于点 $P$．设点 $P$ 的轨迹是曲线 $E$．

1、建立恰当的直角坐标系，求曲线 $E$ 的方程．

2、$F$ 是 $M N$ 上一点，$\overrightarrow{F N}=-3 \overrightarrow{F M}$，过点 $F$ 的直线交曲线 $E$ 于 $S,T$ 两点，且 $\overrightarrow{S F}=\lambda \overrightarrow{F T}$，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

解析

1、以 $M$ 为原点，$A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系．设 $M^{\prime}(2 t, 4)$，那么直线 $M M^{\prime}$ 的方程为 $y=\dfrac{2}{l} x$，$M M^{\prime}$ 的中点坐标为 $(t, 2)$，直线 $l$ 是线段 $M M^{\prime}$ 的垂直平分线，其方程为 $y-2=-\dfrac{t}{2}(x-t)$．将 $x=2 t$ 代人上式，得 $$y=2-\frac{t^2}{2},$$ 所以，$P$ 点的坐标是 $\left(2 t, 2-\dfrac{t^2}{2}\right)$，则它的轨迹方程为 $$\begin{cases} x=2 t, \\ y=2-\dfrac{t^2}{2},\end{cases}$$ 消去参数 $t$，可得点 $P$ 的轨迹方程是 $y=2-\dfrac{x^2}{8}$（$-4 \leqslant x \leqslant 4$）．

2、由 $\overrightarrow{F N}=-3 \overrightarrow{F M}$ 可得 $F(0,1)$，设 $ST:~y=kx+1$，与曲线 $E$ 的方程联立，可得 $$x^2+8kx-8=0,$$ 该方程在 $x\in[-4,4]$ 上有两个不同的实数根，于是 $$\begin{cases} -4\leqslant -4k\leqslant 4,\\ (-8k)^2-4\cdot(-8)>0,\\ 4^2+32k-8\geqslant 0,\\ (-4)^2-32k-8\geqslant 0,\end{cases}\iff -\dfrac 14\leqslant k\leqslant \dfrac 14,$$ 进而 $$(8k)^2=\left(-\lambda-\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\cdot 1\cdot (-8),$$ 从而 $\lambda+\dfrac{1}{\lambda}$ 的取值范围是 $\left[2,\dfrac 52\right]$，求得 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,2\right]$．