每日一题[3151]重根之力

若方程 $\log _2\left(k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right)=2 \log _2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 仅有一个实数解，则满足条件的 $k$ 的最大值等于_______．

答案    $4$．

解析    根据题意，题中方程即

$$\begin{cases} k\left(x-\dfrac 12\right)=\left(x+\dfrac 12\right)^2,\\ x+\dfrac 12>0,\end{cases}$$ 设 $t=x+\dfrac 12$，则关于 $t$ 的方程 $$t^2=k(t-1)\iff t^2-kt+k=0$$ 只有一个正实数解，因此 $$\begin{cases} \Delta=k^2-4k>0,\\ k<0,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} \Delta=k^2-4k=0,\\ \dfrac k2>0,\end{cases}$$ 解得 $k<0$ 或 $k=4$．因此所求 $k$ 的最大值为 $4$．