每日一题[3114]抛物线的平均性质

已知抛物线 $C:~x^2=2 y$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A, B$ 是 $C$ 上异于点 $O$ 的两点（$O$ 为坐标原点）则下列说法正确的是[[nn]] A．若 $A,F,B$ 三点共线，则 $|A B|$ 的最小值为 $2$ B．若 $|A F|=\dfrac{3}{2}$，则 $\triangle A O F$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ C．若 $O A \perp O B$，则直线 $A B$ 过定点 $(2,0)$ D．若 $\angle A F B=60^{\circ}$，过 $A B$ 的中点 $D$ 作 $DE\perp l$ 于点 $E$，则 $\dfrac{|A B|}{|D E|}$ 的最小值为 $1$

答案    ABD．

解析    根据题意，有 $F\left(0,\dfrac 12\right)$，准线 $l:~y=-\dfrac 12$，设 $A(2a,2a^2)$，$B(2b,2b^2)$．

对于选项 $\boxed{A}$，若 $A,F,B$ 三点共线，则根据抛物线的焦点弦长公式，$|AB|$ 的最小值为 $2p=2$（其中 $p$ 为抛物线的焦准距），选项正确．

对于选项 $\boxed{B}$，若 $|AF|=\dfrac 32$，则 $2a^2=1$，因此 $A\left(\sqrt 2,1\right)$，此时 $\triangle AOF$ 的面积为

$$\dfrac 12\cdot |FO|\cdot d(A,FO)=\dfrac 12\cdot \dfrac 12\cdot \sqrt 2=\dfrac{\sqrt 2}4,$$ 选项正确．

对于选项 $\boxed{C}$，若 $OA\perp OB$，则 $ab=-1$，而根据抛物线的平均性质，直线 $AB$ 的纵截距为 $-2ab=2$，因此直线 $AB$ 恒过点 $(0,2)$，选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，设 $|AF|=m$，$|BF|=n$，根据余弦定理，有

$$\dfrac{|AB|}{|DE|}=\dfrac{\sqrt{m^2+n^2-2mn\cos\angle AFB}}{\dfrac 12\left(d(A,l)+d(B,l)\right)}=\dfrac{\sqrt{m^2+n^2-mn}}{\dfrac 12(m+n)}=2\sqrt{1-\dfrac{3}{\dfrac mn+\dfrac nm+2}}\geqslant 1,$$ 等号当 $m=n$ 时取得，因此选项正确．

综上所述，正确选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．