每日一题[3099]零点判定

令 $f(x)=\ln x$，作曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_{1} ,f\left(a_{1}\right)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_{2}\right)$，作曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_{2} f\left(a_{2}\right)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_{3}\right)$，若 $a_{3}<0$ 则停止，以此类推，得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$．

1、若正整数 $m \geqslant 2$，证明 $a_{m}=\ln a_{m-1}-1$．

2、若正整数 $m \geqslant 2$，试比较 $a_{m}$ 与 $a_{m-1}-2$ 的大小．

3、若正整数 $k \geqslant 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_{1}, a_{2} ,\cdots, a_{k}$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，试说明理由．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac 1x,$$ 因此其在 $(a_n,f(a_n))$ 处的切线方程为 $$y=\dfrac{1}{a_n}(x-a_n)+\ln a_n,$$ 从而 $$a_{n+1}=\dfrac{1}{a_n}(0-a_n)+\ln a_n=\ln a_n-1,$$ 命题得证．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$a_m-(a_{m-1}-2)=\ln a_{m-1}-(a_{m-1}-1)\leqslant 0,$$ 于是 $a_m\leqslant a_{m-1}-2$．

3、若 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 成公差为 $d$ 的等差数列，则

$$d=a_{n+1}-a_n\implies d=\ln a_n-a_n-1,\quad n=1,2,3,$$ 也即函数 $g(x)=\ln x-x-1-d$ 有 $3$ 个零点 $x=a_1,a_2,a_3$，函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac {x-1}x,$$ 只有一个零点，因此函数 $g(x)$ 至多有 $2$ 个零点，矛盾，因此当 $k\geqslant 4$ 时，$a_{1}, a_{2} ,\cdots, a_{k}$ 不为等差数列． 由于 $g(x)$ 的极大值，亦为最大值是 $g(1)=-2-d$，因此当 $d<-2$ 时 $g(x)$ 有 $2$ 个零点，因此使得 $a_{1}, a_{2} ,\cdots, a_{k}$ 依次成等差数列的 $k$ 的所有取值为 $k=3$．