设函数 f(x)=x−x3eax+b，曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y=−x+1．
1、求 a,b 的值．
2、设 g(x)=f′(x)，求 g(x) 的单调区间．
3、求 f(x) 极值点的个数．
解析
1、根据题意，函数 f(x) 的导函数f′(x)=1−eax+bx2(3+ax),
进而{f(1)=0,f′(1)=−1,⟺{1−ea+b=0,1−ea+b(3+a)=−1,⟺{a=−1,b=1.
2、根据第 (1) 小题的结果，有g(x)=1−e1−xx2(3−x),
于是 g(x) 的导函数g′(x)=−e1−xx(3+√3−x)(3−√3−x),
因此函数 g(x) 的单调递增区间为 (0,3−√3) 和 (3+√3,+∞)，单调递减区间是 (−∞,0) 和 (3−√3,3+√3)．
3、根据第 (2) 小题的结果，有x−∞(−∞,0)0(0,3−√3)3−√3(3−√3,3+√3)3+√3(3+√3,+∞)+∞g(x)−∞
1
g(3−√3)g(3+√3)0
而g(3−√3)=1−e√3−2⋅√3⋅(3−√3)2<1−3√3(√3−1)3=1−(3−√3)3<0,
且g(3+√3)=1+e−(2+√3)⋅√3⋅(3+√3)2>0,
结合g(−1)=1−4e2<0,
且当 x>3 时，有g(x)=1+e1−xx2(x−3)>0,
可得 g(x) 有 3 个变号零点，从而 f(x) 有 3 个极值点（其中 2 个极小值点，1 个极大值点）．